凸优化-次梯度算法

1. 次梯度

在优化问题中，我们可以对目标函数为凸函数的优化问题采用梯度下降法求解，但是在实际情况中，目标函数并不一定光滑、或者处处可微，这时就需要用到次梯度下降算法。

次梯度（*Subgradient*）与梯度的概念类似，凸函数的First-order characterization是指如果函数f可微，那么当且仅当$dom(f)$为凸集，且对于$\forall x,y \in dom(f)$，使得$f(y) \geq f(x)+\nabla f(x)^T(y-x)$，则函数$f$为凸函数。这里所说的次梯度是指在函数$f$上的点$x$满足以下条件的$g \in \mathbb{R}^n$：

$$f(y) \geq f(x) + g^T(y-x)$$

其中，函数$f$不一定要是凸函数，非凸函数也可以，即对于凸函数或者非凸函数而言，满足上述条件的$g$均为函数在该点的次梯度。但是，凸函数总是存在次梯度（可以利用epigraph和支撑平面理论证明），而非凸函数则不一定存在次梯度，即使$f$可微。该定义说明，用次梯度对原函数做出的一阶展开估计总是比真实值要小。

很明显，**凸函数的次梯度一定存在，如果函数$f$在点$x$处可微，那么$g=\nabla f(x)$，为函数在该点的梯度，且唯一；如果不可微，则次梯度不一定唯一。但是对于非凸函数，次梯度则不一定存在，也不一定唯一。**例如，凸函数$\parallel x \parallel_p$范数为凸函数，但不满足处处可微的条件，因此，函数的次梯度不一定唯一，如下图：

左一图为$\parallel x \parallel_2$，函数在$x \neq 0$时，次梯度唯一，且$g=x / \parallel x \parallel_2$；当$x = 0$时，次梯度为$\{ z: \parallel z \parallel_2 \leq 1 \}$中的任意一个元素；

左二图为$\parallel x \parallel_1$，函数在$x \neq 0$时，次梯度唯一，且$g=sign(x)$；当$x = 0$时，次梯度为$[-1,1]$中的任意一个元素；

同样，绝对值函数$f(x)=\mid x\mid$和最大值函数$f(x)=max\{ f_1(x), f_2(x) \}$在不可微点处次梯度也不一定唯一，如下图：

对于左二函数而言，其在满足$f_1(x)=f_2(x)$的点处，次梯度为任意一条直线在向量$\nabla f_1(x)$和$\nabla f_2(x)$之间。

同理，我们还可以给出次微分（subdifferential）的定义，即：

$$\partial f(x) = \{ g \in \mathbb{R}^n: g \, is \, a \, subgradient \, of \, f \, at \, x \}$$

• 次微分是闭合且为凸集；

• 如果函数$f$在点$x$处可微，那么次微分等于梯度；

• 凸函数的次微分不为空，但非凸函数则不一定。

如果我们还记得Normal cone是指给定任意集合$C$和点$x \in C$，$\mathbb{N}_C(x)=\{g:g^Tx \geq g^Ty\}$，那么我们可以看出，对于集合$C$的边界上点的Normal cone就是函数$I_C(x)$在该点的次微分。其中，

$$I_C(x)=I\{ x \in C \}= \begin{cases} 0 \quad & \text{if } x \in C\\ \infty \quad & \text{if } x \notin C \end{cases}$$

证明：

因为，对于函数的次梯度会满足$I_C(y) \geq I_C(x) + g^T(y-x)$，因此，

• 对于$y \notin C$，$I_C(y)=\infty$，不满足Normal cone的定义；

• 对于$y \in C$，$0 \geq g^T(y-x)$，满足Normal cone的定义；

既证。

2. 次梯度的性质

• Scalingf：$\partial (af)=a\cdot \partial f$；

• Addition：$\partial (f_1+f_2)=\partial f_1 + \partial f_2$；

• Affine composition：如果$g(x)=f(Ax+b)$，那么$\partial g(x)=A^T \partial f(Ax+b)$；

• Finite pointwise maximum：如果$f(x)=\max \limits_{i=1,\ldots,m} f_i(x)$，那么$\partial f(x)=conv(\bigcup \limits_{i:f_i(x)=f(x)} \partial f_i(x))$，意味着函数$f(x)$的次微分等于所有能取得最大值的函数$f_i(x)$在点$x$处的微分，具体实例可参考之前提到的最大值函数部分。

3. 为什么要计算次梯度？

对于光滑的凸函数而言，我们可以直接采用梯度下降算法求解函数的极值，但是当函数不处处光滑，处处可微的时候，梯度下降就不适合应用了。因此，我们需要计算函数的次梯度。对于次梯度而言，其没有要求函数是否光滑，是否是凸函数，限定条件很少，所以适用范围更广。

次梯度具有以下优化条件（subgradient optimality condition）：对于任意函数$f$（无论是凸还是非凸），函数在点$x$处取得最值等价于：

$$f(x^{\ast})=\min \limits_{x} f(x) \, \Leftrightarrow \, 0 \in \partial f(x^{\ast})$$

即，当且仅当0属于函数$f$在点$x^{\ast}$处次梯度集合的元素时，$x^{\ast}$为最优解。

证明：

证明很简单，当次梯度$g=0$时，对于所有$y \in dom(f)$，存在$f(y) \geq f(x^{\ast}) + 0^T (y-x^{\ast})=f(x^{\ast})$，所以，$x^{\ast}$为最优解，即证。

4. 次梯度算法

次梯度算法（Subgradient method）与梯度下降算法类似，仅仅用次梯度代替梯度，即：

$$x^{(k)} = x^{(k-1)} - t_k \cdot g^{(k-1)}, \, k=1,2,3,\ldots$$

其中，$g^{(k-1)} \in \partial f(x^{(k-1)})$，为$f(x)$在点$x$处的次梯度。

与梯度下降算法不同的地方在于，次梯度算法并不是下降算法，每次对于参数的更新并不能保证代价函数是呈单调递减的趋势，因此，一般请款下我们选择：

$$f(x_{best}^{(k)}) = \min \limits_{i=0,\ldots,k} f(x^{(i)})$$

另一点与梯度下降算法不同的是：次梯度算法没有明确的步长选择方法，类似Exact line search和Backtracking line search的方法，只有步长选择准则，具体如下：

• Fixed step sizes： $t_k = t, \, all \, k = 1,2,3,\ldots$；

• Diminishing step sizes： 选择满足以下条件的$t_k$:

$$\sum_{k=1}^{\infty} t_k^2 < \infty, \, \sum_{k=1}^{\infty} t_k = \infty$$

Diminishing step sizes方法主要是保证步长逐渐变小，同时，变化幅度还不会特别快。这里需要注意的是，次梯度算法并不像梯度下降一样，可以在每一次迭代过程中自适应的计算此次步长（adaptively computed），而是事先设定好的（pre-specified）。

但是，很多人会提出这样一个问题，如果你不能保证次梯度是单调的，如何保证最后可以收敛？

定理：如果$f$为凸函数，且满足Lipschitz continuous with G，如果固定步长为$t$，那么次梯度算法满足：

$$\lim \limits_{k \rightarrow \infty} f(x_{best}^{(k)}) \leq f^{\ast} + \frac{G^2 t}{2}$$

证明：

对于$\forall k$，$x^{(k+1)} = x^{(k)} - t g^{(k)}$，其中$g \in \partial f(x)$。因此，我们可以展开下式为：

$$\begin{aligned} \parallel x^{(k+1)} - x^{\ast} \parallel_2^2 & = \parallel x^{(k)} - t g^{(k)} - x^{\ast} \parallel_2^2 \\ & = \parallel x^{(k)}-x^{\ast} \parallel_2^2 - 2 t g^{(k)}(x^{(k)} - x^{\ast}) + t^2 \parallel g^{(k)} \parallel_2^2 \end{aligned}$$

因为，$f(x^{\ast}) = f^{\ast}$，且由凸函数一阶性质可得$f(x^{\ast}) \geq f(x^{(k)}) + g^{(k)T}(x^{\ast}-x^{(k)})$，上式不等式可以写为：

$$\parallel x^{(k+1)} - x^{\ast} \parallel_2^2 \leq \parallel x^{(k)}-x^{\ast} \parallel_2^2 - 2t (f(x^{(k)}) - f^{\ast}) + t^2 \parallel g^{(k)} \parallel_2^2$$

对于任意$k=1,2,\ldots, K$，求和上式可以获得：

$$\begin{aligned} \sum_{k=1}^K (\parallel x^{(k+1)} - x^{\ast} \parallel_2^2 - \parallel x^{(k)} - x^{\ast} \parallel_2^2) & = \parallel x^{(k+1)} - x^{\ast} \parallel_2^2 - \parallel x^{(1)} - x^{\ast} \parallel_2^2 \\ & \leq -2t \sum (f(x^{(i)}) - f^{\ast}) + \sum t^2 \parallel g^{(i)} \parallel_2^2 \end{aligned}$$

因为，$\parallel x^{(k+1)} - x^{\ast} \parallel_2^2 \geq 0$，所以：

$$2t \sum_{i=1}^k (f(x^{(i)}) - f^{\ast}) \leq \parallel x^{(1)} - x^{\ast} \parallel_2^2 + \sum_{i=1}^k t^2 \parallel g^{(i)} \parallel_2^2$$

如果令$f(x_{best}^{k})$为迭代$k$次内的最优解，那么$f(x_{best}^{(k)}) \leq f(x^{(i)})$，其中，$i=1,2,\ldots,k$，因此：

$$2tk(f(x_{best}^{(k)}) - f^{\ast}) = 2t \sum_{i=1}^k (f(x_{best}^{(k)}) - f^{\ast}) \leq 2t \sum_{i=1}^k (f(x^{(i)}) - f^{\ast}) \leq \parallel x^{(1)} - x^{\ast} \parallel_2^2 + \sum_{i=1}^k t^2 \parallel g^{(i)} \parallel_2^2$$

所以，我们可以得到

$$f(x_{best}^{(k)}) - f^{\ast} \leq \frac{\parallel x^{(1)} - x^{\ast} \parallel_2^2 + \sum_{i=1}^k t^2 \parallel g^{(i)} \parallel_2^2}{2tk}$$

同时，因为函数满足Lipschitz continuous with G，所以，$\mid f(x) - f(y) \mid \leq \parallel x-y \parallel_2$，即函数的次梯度$\parallel g \parallel_2 \leq G$。

综上所述，我们可以证明下式成立：

$$\begin{aligned} f(x_{best}^{(k)}) - f^{\ast} & \leq \frac{\parallel x^{(1)} - x^{\ast} \parallel_2^2 + t^2 k G^2}{2tk} \\ & = \frac{R^2}{2tk}+ \frac{G^2t}{2} \end{aligned}$$

当$k \rightarrow \infty$，既证上述定理成立。

此时，如果我们想要获得$\epsilon$-最优解，则令

$$\frac{R^2}{2tk}+ \frac{G^2t}{2} = \epsilon$$

令等式的每一部分等于$\frac{\epsilon}{2}$，则

$$k=\frac{R^2}{t} \cdot \frac{1}{\epsilon}=\frac{R^2G^2}{\epsilon^2}$$

因此，次梯度的收敛速度为$O(\frac{1}{\epsilon^2})$，跟梯度下降算法收敛速度$O(\frac{1}{\epsilon})$相比，要慢许多。

5. 次梯度算法实例

A. Regularized Logistic Regression

对于逻辑回归的代价函数可记为：

$$f(\beta) = \sum_{i=1}^n (-y_i x_i^T \beta + log (1+exp(x_i^T \beta)))$$

明显，上式是光滑且凸的，而regularized problem则是指优化目标函数为：

$$\min \limits_{\beta \in \mathbb{R}^p} f(\beta) + \lambda \cdot P(\beta)$$

如果$P(\beta)=\parallel \beta \parallel_2^2$，则成为岭回归（ridge problem），如果$P(\beta)=\parallel \beta \parallel_1$则称为Lasso。对于岭回归，我们仍然可以采用梯度下降算法求解目标函数，因为函数处处可导光滑，而Lasso问题则无法用梯度下降算法求解，因为函数不是处处光滑，具体可参考上面给出的Norm-1的定义，所以，对于Lasso问题需要选用次梯度算法求解。

下图是对于同样数据集下分别对逻辑回归选用岭惩罚和Lasso惩罚求解最优解的实验结果图（$n=1000, p=20$）：

B. 随机次梯度算法

第4部分降到的次梯度算法梯度更新定义为：

$$x^{(k)} = x^{(k-1)} - t_k \cdot \sum_{i=1}^m g_{i}^{(k-1)}, \, k=1,2,3,\ldots$$

随机次梯度算法（Stochastic Subgradient Method）与次梯度算法(Subgradient Method)相比，每次更新次梯度是根据某一个样本计算获得，而不是通过所有样本更新次梯度，其定义为：

$$x^{(k)} = x^{(k-1)} - t_k \cdot g_{ik}^{(k-1)}$$

其中，$i_k \in \{1,\ldots,m \}$是第$t$次迭代随机选取的样本$i$。从该方法的定义，我们也可引出随机梯度下降算法（Stochastic Gradient Descent）的定义，即当函数$f$可微连续时，$g_i^{(k-1)} = \nabla f_i(x^{(k-1)})$。

所以，根据梯度更新的方式不同，次梯度算法和梯度下降算法一般被称为”batch method”。从计算量来讲，$m$次随机更新近似等于一次batch更新，二者差别在于$\sum_{i=1}^m[\nabla f_i(x^{(k+i-1)}) - \nabla f_i(x^{(k)})]$，当$x$变化不大时，差别可以近似等于0。

对于随机更新次梯度，一般随机的方式有两种：

• Cyclic rule：选择$i_k = 1,2,\ldots,m,1,2,\ldots,m,\ldots$；

• Randomized rule：均匀随$\{1,\ldots,m\}$机从选取一点作为$i_k$。

与所有优化算法一样，随机次梯度算法能否收敛？

答案是肯定的，这里就不在做证明，有兴趣的同学可以参考boyd教授的论文，这里仅给出收敛结果，如下：

$$\lim \limits_{k \rightarrow \infty} f(x_{best}^{(k)}) \leq f^{\ast} + \frac{5m^2G^2 t}{2}$$

对于Cyclic rule，随机次梯度算法的收敛速度为$O(m^3G^2/ \epsilon^2)$；对于Randomized rule，随机次梯度算法的收敛速度为$O(m^2G^2/ \epsilon^2)$。

下图给出梯度下降和随机梯度下降算法在同一数据下迭代结果：